Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán phương trình

 1.MỞ ĐẦU
 1.1 Lí do chọn đề tài 
 Khái niệm về hàm số đã xuất hiện từ rất sớm và ngày càng đóng vai trò quan 
trọng không chỉ ở môn Toán, học sinh được tiếp cận với khái niệm này trong 
chương trình phổ thông một cách bài bản thông qua SGK, các tài liệu liên quan. 
Liên hệ với khái niệm hàm là tư duy hàm, một loại hình tư duy được hàng loạt các 
công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ 
trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán .Ngày 
nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã, đang được 
thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái 
niệm khác .Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp của THPT, ngoài các câu hỏi liên 
quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải 
vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương 
trình, bất phương trình, tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn 
cho cả thầy và trò trong các giờ lên lớp. Trong các giờ giảng các em thường bị động 
trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do 
các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong 
việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và 
làm được như vậy’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy, việc bồi dưỡng 
năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết . 
Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà 
còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc 
bản chất của toán học. Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán-
môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên.
 Mặc dù đã tham khảo một số lượng không ít các tài liệu hiện nay để vừa viết, 
vừa đi dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn ,rất 
mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn 
toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường, góp phần nâng cao 
hơn nữa chất lượng giáo dục phổ thông, giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi 
giải các bài toán liên quan đến hàm số . Với lí do đó, tôi xin giới thiệu đến các bạn 
đồng nghiệp đề tài : “Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các 
bài toán phương trình” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm trong năm học 2016 – 
2017 nhằm đưa ra một giải pháp để góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học, nhất là 
trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
 1.2. Mục đích nghiên cứu
 Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn 
khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủ động 
trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Thầy đóng vai trò là người điều khiển để các em 
tìm đến đích của lời giải. Chính vì lẽ đó tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên 
đề này, một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn 
lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các - Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nghịch biến) của hàm số để kết 
luận nghiệm của phương trình.
 Để giải các bài toán Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất phương 
trình) có nghiệm ta thực hiện các bước sau 
 - Biến đổi phương trình về dạng f(x) =g(m) 
 - Tìm tập xác định của hàm số f(x) 
 - Tính f’(x) 
 - Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D
 Tìm Max f(x), min f(x) với x thuộc D
 Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp ,ta có thể đặt ẩn phụ 
thích hợp t (x) ,từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( với bài toán 
chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ,ta thường dùng là đánh 
giá bằng bất đẳng thức,hoặc đôi khi phải khảo sát hàm t (x) ) để có thể tìm được 
điều kiên chính xác của biến mới t). Sau đó đưa phương trình đã cho về phương 
trình theo t và lại sử dụng phương pháp hàm số như trên 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Trong một lớp các bài toán phương trình, bất phương trình, nếu học sinh không 
có được tư duy hay mối liên hệ thường xuyên với hàm số mà loay hoay tìm cách 
biến đổi hay đặt ẩn phụ thì sẽ dẫn tới bế tắc hoặc phải thực hiện một khối lượng 
công việc lớn mới đi đến đáp số được
 Ví dụ 1: Giải phương trình : 5x3 1 3 2x 1 x 4 (1) [1]
Nhận xét: Nếu đơn thuần không đặt trong mối liên hệ với hàm số, ta sẽ gặp khó 
khăn trong việc tìm cách biến đổi, đặt ẩn phụ Nhưng ta hãy quan sát vế trái của 
phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng .Từ 
đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 4 là hàm hằng ,đây là điều kiện 
thích hợp để sử dụng tính đơn điệu 
 1
 x 5x3 1 3 2x 1 x
Lg: Đk: 3 5 ,Đặt f(x)= 
 15x2 2 1 1
 ’ 1  ( ; ) [ ; )
 f (x) 2 5x3 1 33 (2x 1)2 >0 x 3 5 nên hàm số đồng biến trên 3 5 
Mà f(1)=4 nên x=1 là nghiệm .
 Ví dụ 2 : Giải phương trình : 3x(2 9x2 3) (4x 2)(1 1 x x2 ) 0 (2) [4]
Lg:
Cách 1: 
Ta viết lại phương trình dưới dạng 3x(2 (3x)2 3) (2x 1)(2 [ (2x 1)2 ] 3
 1 
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3x.(2x+1)<0 hay x ;0 
 2 phương trình, bất phương trình chứa căn, mũ, logarit và một số phương trình bậc 
cao khác.
2.3.1: Phương trình chứa căn thức
Ví dụ 3 : Giải phương trình : 2x3 3x2 6x 16 4 x 2 3 [2]
Nhận xét : Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện 
 2x3 3x2 6x 16 0 (x 2)(2x2 x 8) 0
Đk: 2 x 4
 4 x 0 4 x 0
Đặt f(x) = 2x3 3x2 6x 16 4 x , f’(x)=
 3(x2 x 1) 1
 0,x ( 2;4)
 2x3 3x2 6x 16 2 4 x
 Nên hàm số đồng biến ,f(1)= 2 3 nên x=1 là nghiệm 
Ví dụ 4 : Giải phương trình x5 x3 1 3x 4 0 [1]
 1
Lg: Đặt f(x) = x5 x3 1 3x 4 , x 
 3
 ' 4 2 3 1
ta có f (x) 5x 3x 0x 
 2 1 3x 3
 1
Vậy f(x) đồng biến với x ,f(-1) =0 nên x= -1 là nghiệm 
 3
Ví dụ 5 :Giải phương trình :2x3 x2 3 2x3 3x 1 3x 1 3 x2 2 [1]
Lg: Biến đổi (1) 2x3 3x 1 3 2x3 3x 1 x2 2 3 x2 2 (*)
 1
Xét hàm số f(t)=t 3 t f’(t)=1 1,t R \ 0 hàm số đồng biến trên R \ 0
 33 t 2
 1 1 5 
(*) f(2x3-3x+1)=f(x2+2) 2x3-3x+1= x2+2 (2x+1)(x2-x-1)=0 x ; 
 2 2  
Ví dụ 6 :Giải phương trình 3 x 2 3 2x2 1 3 2x2 3 x 1 [2]
Lg: 
 Ta có 3 x 2 3 2x2 1 3 2x2 3 x 1 3 x 2 3 x 1 3 2x2 1 3 2x2 (*)
Xét hàm số f(t) = 3 t 3 t 1 dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên R \ 0; 1 
 1
  2  2  
nên (*) f(2x )=f(x+1) 2x =x+1 x=1 hoặc x= 2
Ví dụ 7: Giải phương trình 3 6x 1 8x3 4x 1 [1]
Lg: Phương trình 3 6x 1 8x3 4x 1 6x 1 3 6x 1 (2x)3 2x (*)
Xét hàm số f(t)=t3+t dễ thấy f(t) đồng biến nên (*) f( 3 6x 1 )=f(2x)
 3 3 1
 3 6x 1 2x 8x 6x 1 4x 3x (1)
 2 nên hàm số đồng biến trên 0 x 2016 , hơn nữa g(x) >0 với 0 x 2016
vì vậy f(x) =h(x)g(x) đồng biến trên 0 x 2016 ,vì vậy phương trình có nghiệm 
khi f (0) m f (2016) 12 2017 2016 m 2016 2016 2028
Trong trang này: Ví dụ 8 được trích từ TLTK số 4, Ví dụ 9 là của tác giả 
Ví dụ 10 : Tìm m để phương trình x 4 4 x m 4 x 4 4 x m 6 (*) có hai 
nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mãn x1 < -1 < x2 [2] 
Lg: 
Đặt t= 4 x4 4x m 0
(*) trở thành t2 + t -6=0 có nghiệm là t=2
 Với t = 2 x4 4x m 16 x4 4x m 16 0
Đặt f(x) = x4 4x m 16 ,f’(x) = 4(x3+1), f’(x) =0 x=-1
Bảng biến thiên 
 x - -1 + 
 f’(x) - 0 +
 f(x) - + 
 m-19
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm thoả mãn x1< -1< x2
khi m - 19 < 0 hay m < 19
Ví dụ 11 : Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm 
 4 x4 13x m x 1 0 (*) [1]
Lg:
 x 1
 (*) 4 x4 13x m 1 x
 3 2
 4x 6x 9x 1 m(1)
Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y= - m cắt đồ thị hàm số 
f(x)= 4x3 6x2 9x 1 tại một điểm x 1
 1
 x 
 2
 ’ 2 2 
f (x) =12x - 12x – 9 = 3(4x - 4x - 3) = 0 3 
 x 
 2
Ta có bảng biến thiên 
 x - -1/2 1
 f(x) + 0 -
 3/2
 f’(x) - -12 7 7 40
 1 
 x2 7 x2 x2 3x 7 40 
 713 7 2 1 713 7 2 2 (*)
 x x x 3x 
Xét hàm số f (t) 713t 7t , f ' (t) 713t ln 713 0,t R nên hàm f(t) đồng biến trên R
 7 7 40 7 7 40 2 x 5
(*) f 2 1 f 2 2 2 1 2 2 x 3x 40 0 
 x x x 3x x x x 3x x 8
Trong mục 2.3.2: Ví dụ 12 được trích từ TLTK số 3, Ví dụ 13, 14 được trích từ TLTK số 4
Bình Luận : Ba phương trình trên thuộc dạng phương trình 
 ah(x) f (x) ah(x) f (x) K  f (x) g(x)
 f (x) h(x) f (x) g (x)
 h(x)a a a h(x) 
 Để áp dụng được học sinh phải có kỹ năng biến đổi mỗi phương trình để đưa 
phương trình trên về một trong hai dạng trên. Sau đó xét hàm đặc trưng f(t) chỉ ra 
được hàm f(t) đơn điệu trên tập xác định, sử dụng tính chất: f(t1)=f(t2) khi t1=t2 
Ví dụ 15 :Giải phương trình : xlog2 9 x2 3log2 x xlog2 3 [2]
 Lg:
 log 9 2 log x log 3 log x log x 2
Biến đổi phương rình như sau x 2 x 3 2 x 2 3 2 3 2 x 1 0 (*)
 log x 2
Do 3 2 0 nên (*) 3log2 x x2 1 0 3log2 x 2log2 x 1 0
 log2 x
 log2 x
 log x log x 3 1 
 3 2 4 2 1 0 1 0 (*)
 4 4 
 t t
 3 1 
Xét hàm số f (t) 1 .dễ thấy hàm f(t) nghịch biến trên R
 4 4 
mà f(1)=0 suy ra t=1 là nghiệm duy nhất của phương trình từ đó suy ra 
(*) log2 x 1 x 2 thoả mãn điều kiện đề bài .
Bình Luận :
Một số phương trình mũ đôi khi việc tìm nghiệm trực tiếp là khó khăn .Ta chỉ ra 
phương trình có không quá n nghiệm và kết hợp với việc nhẩm được n nghiệm từ 
đó kết luận về số nghiệm của phương trình .Ta xét bài toán sau 
Ví dụ 16 : Giải phương trình 3x 5x 6x 2 [3]
Lg: Xét hàm số f(x) =3x 5x 6x 2
 ' x x
 f (x) 3 ln3 5 ln5 6
 ' x x
 f (x) 0 g(x) 3 ln3 5 ln5 6 0 
Nhận xét g(x) liên tục trên R . g(0).g(1) <0 nên g(x)=0 có nghiệm x0 trong (0;1)
 2 2
 f '' (x) 3x ln3 5x ln5 0