Sáng kiến kinh nghiệm Áp dụng phương pháp tiếp tuyến vào một số bài toán cực trị

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT LƯƠNG ĐẮC BẰNG
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN
 VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ
 Người thực hiện: Trương Thị Kim
 Chức vụ: Giáo viên
 Sáng kiến kinh nghiệm thuộc môn Toán Học
 THANH HÓA 2016
 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lí do chọn đề tài 
 1.1. Bất đẳng thức và các bài toán quy về bất đẳng thức là một trong 
những bài toán khó nhất trong các kì thi học sinh giỏi các cấp và kỳ thi THPT 
Quốc Gia hiện nay. Điều quan trọng của các bài toán cực trị là tim ra được 
dấu “=” của đẳng thức. Nhưng khi thực hiện bài toán thì bất đẳng thức lại 
thường ngược chiều, gây khó khăn, bế tắc cho bài toán.
 1.2. Một trong những điều mấu chốt của bài toán cực trị là tìm được 
một bất đẳng thức phụ để biến biểu thức phức tạp thành một biểu thức đơn 
giản và có từ vế còn lại hoặc từ giả thiết. Các bài toán này không những chỉ ở 
dạng toán chứng minh bất đẳng thức, tìm GTNN, GTLN mà còn ở các bài 
toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và là các bài toán 
khó nhất trong các đề thi mà kể cả những em khá, giỏi bài toán này vẫn còn là 
một ẩn số rất lớn.
 1.3. Khi học sinh đã có được kỹ năng tự nghiên cứu, khai thác kiến 
thức thì các em còn có thể tham khảo được nhiều tài liệu, sách giáo khoa và 
trên mạng Internet, để phục vụ cho việc học tốt hơn.
Trong quá trình dạy học, ôn luyện thi học sinh giỏi và Thi THPT Quốc Gia tôi 
đã dạy và khai thác rất nhiều dạng bài toán về cực trị và một trong những 
dạng đó tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm về một đề tài nhỏ đó là: 
” Áp dụng phương pháp tiếp tuyến vào một số bài toán cực trị.”- CHUYÊN 
ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ THPT QUỐC GIA .
II. Mục đích chọn đề tài:
 Thực hiện đề tài ” Áp dụng phương pháp tiếp tuyến vào một số bài 
toán cực trị.”, tôi hướng tới mục đích: 
 - Khi nhẩm được dấu “=” của bất đẳng thức, có thể sử dụng so sánh, dồn 
 biến từ một biểu thức phức tạp, nhiều ẩn về một ẩn bậc thấp hơn.
 - Đưa ra hàm số xác định trên miền D. Khảo sát hàm số trên D và tìm 
 cực trị.
 - Đặc biệt là đối với phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, 
 việc so sánh, đánh giá cho một biểu thức dương hoặc âm là rất quan 
 trọng đòi hỏi các em phải có cách nhìn tổng quát, sâu rộng về so sánh 
 bất đẳng thức.
 - Do vậy, nếu học sinh có đủ khả năng nhìn nhận, phân tích bài toán thì 
 sẽ tìm ra hướng giải cho mỗi bài toán tốt hơn.
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: 
 1. Sách giáo khoa toán 10,11,12 (Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam)
 2. Tạp chí báo toán học và tuổi trẻ (Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam- Bộ 
 giáo dục và đào tạo)
 3. Các chuyên đề luyện thi học sinh giỏi và THPT Quốc Gia.
 3 II. Thực trạng của vấn đề:
2.1. Sử dụng phương pháp tiếp tuyến vào các bài toán cực trị giúp học sinh có 
cách giải bài toán gọn hơn nhanh và đơn giản thông qua một bất đẳng thức 
phụ. Cái hay của phương pháp này ở chỗ:
Có thể đánh giá một biểu thức thông qua một biểu thức bậc nhất. 
Có thể chọn vị trí tiếp tuyến tại điểm sao cho bất đẳng thức xảy ra dấu “=”
 1 1
Chẳng hạn: Xét f(x) = 2 , 
 x 2 x 0;
 x 3 
 1
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại x . Khi đó ta chứng minh được: 
 3
 80 162 1 
 f (x) x ; x 0; .
 82 3 82 3 
Vậy bài toán: “ Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn: x y z 1. 
 1 1 1
Chứng minh : x2 + y2 + z 2 82 ” được giải quyết.
 x2 y2 z 2
2.2. Tuy các dạng toán này rất khó nhưng khi tìm ra chìa khóa của bài toán thì 
vấn đề được giải quyết rất đơn giản, nhanh gọn. Điều khó khăn nhất là tìm ra 
chìa khóa đó? Dạng bài nào thì giải được bằng phương pháp này? Câu hỏi đó 
trả lời được nhờ sự tư duy cao và sáng tạo của mỗi học sinh. Ở các bài toán 
có thể dồn về một ẩn ở mỗi biểu thức và tìm ra dấu “=” của bất đẳng thức thì 
ta có thể thử giải quyết bằng phương pháp này.
III. Giải pháp và tổ chức thực hiện:
3.1. Giải pháp 
Trước hết ta hãy nhìn vào một số đề bài sau: 
Bài 1: Giải phương trình: 
 (x2 3)2 x2 3 3(x2 3)2 2(x2 3) x2 3 4 x2 3 6x 2 0
Bài 2: Giải các hệ phương trình: 
 x 7 x 1
 2 3y
 6 x x 1 1 2 y 1 x 1
 a) b) 
 2 (2 x)(y 2 y 1) 2 3 2
 16 y 7 2 2 ln x
 2
 5 (x2 3)2 x2 3 3(x2 3)2 2(x2 3) x2 3 4 x2 3 6x 2 0(1)
Lời giải
Xét f (t) t 2 t 3t 2 2t t 4t,t 1
Có: f (t) t 2 t 3t 2 2t t 4t 3t 4 t 1( )
Thật vậy t 1 (t 1)( t 2)2 0 đúng với t 1
Dấu “=” xảy ra t 4
Áp dụng ta có: (1) 3(x2 3) 4 6x 2 0 3(x 1)2 0 x 1
Thử lại x=1 thõa mãn phương trình.
Vậy nghiêm của phương trình: S= 1
Nhận xét: Dự đoán nghiệm của phương trình x=1(có thể dùng máy tính bấm 
nghiệm).
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: f (t) t 2 t 3t 2 2t t 4t 
tại t=1.
 6 x2 x 1 1 2 y 1
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
 2 (2 x)(y 2 y 1)
Hướng dẫn giải: 
Điều kiện: y 1
 6 x2 x 1 1 2 y 1
Hệ pt 6
 6 3x
 y 2 y 2
Cộng theo vế: 
 6
 6 x2 x 1 7 3x 2 y 1
 y 2 y 2
 1 1 2 y 1
 x2 x 1 (x 1) 
 y 2 y 2 2 3
Sử dụng phương pháp tiếp tuyến dự đoán và chứng minh được:
 7 2 2
 3x 5 x 1 y x 3x y 6 
2. 
 2
 4 y 2y 1 y 3x 4
 2 2 2 2 3
 x x y x 2 x y 
3. 
 2 2 3
 76x 20y 2 4x 8x 1 
 2x2 13x 17 y 3 y 1
 4x2 26x 42 
4. 2x2 13x 19 6 .
 y 1 x 1
 x 1 (y 1) 
Dạng 2: Sử dụng phương pháp tiếp tuyến vào các bài toán cực trị: 
Bài 1: Cho a,b,c,d là các số thực dương thõa mãn : a b c d 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 P 6 a3 b3 c3 d 3 (a2 b2 c2 d 2 )
Lời giải
Từ giả thiết ta có a,b,c,d 0;1 và bài toán được viết dưới dạng tìm trị nhỏ 
nhất của biểu thức:
 P f a f b f c f d với f x 6x3 x2 .
 1
Đẳng thức xảy ra khi a b c d . Ta xét hàm số f x 6x3 x2 trên 
 4
khoảng 0;1 , phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số này tại điểm có 
 1 5 1
hoành độ x là y x . 
 0 4 8 8
 5 1 1 2
 Xét f x x 4x 1 3x 1 0, x 0;1 , suy ra 
 8 8 8
 5 1
 f x x , x 0;1 . 
 8 8
 5 1 1
Từ đó ta có f a f b f c f d a b c d 4. ,
 8 8 8
 1 1
Vậy MinP a b c d .
 8 4
Nhận xét: Để áp dụng được kỹ thuật tiếp tuyến chúng ta phải đưa bất dẳng 
thức được về dạng tổng quát của: P f a f b f c f d 
 Hay: P 6a3 – a2 6b3 – b2 6c3 – c2 6d 3 – d 2 
 9 Hướng dẫn giải: 
Ta có: InS bIn(a a2 1) cIn(b b2 1) aIn(c c2 1)
Xét hàm số: f (x) In(x x2 1) , x>0 (1). Do đặc thù của bài toán nên ta 
 3
có thể dự đoán giá trị lớn nhất của bài toán đạt được khi a b c . Vì vậy 
 4
 3
ta sẽ so sánh vị trí của đồ thị với tiếp tuyến của nó tại điểm ( ;In2) .
 4
 1 3 4
Đạo hàm f '(x) f '( ) . Tiếp tuyến của đồ thị tại hàm số (1) 
 x2 1 4 5
 3 4 3
tại điểm ( ;In2) có phương trình y x In2 
 4 5 5
Đạo hàm cấp hai suy ra đồ thị hàm số (1) lồi trên khoảng (0;). Do đó tại điểm
 3
 ( ;In2) tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) nằm phía trên đồ thị hàm số (1). Từ 
 4
 4 3
đó ta có : In(x x2 1) x In2 ,x 0
 5 5
Áp dụng bất đẳng thức này cho số dương a ta được 
 4 3
 In(a a2 1) a In2 . Nhân hai vế với số b>0 ta suy ra: 
 5 5
 4 3
 bIn(a a2 1) ab (In2 )b.
 5 5
Tương tự ta có:
 4 3
 cln(b b2 1) bc (ln2 )c
 5 5
 .
 4 3
 aln(c c2 1) ac (ln2 )a
 5 5
Cộng vế ba bất đẳng thức này ta được:
 4 3
 InS (a b c) (In2 )(a b c)
 5 5
 1
Cuối cùng sử sụng bất đẳng thức (ab bc ac) (a b c)2 và giả thiết 
 3
 9 9
 a b c , rút gọn thu được InS In2. Từ đó S 4 4 2 .
 4 4
 3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c . Vậy giá trị lớn nhất của S là 
 4
 4 4 2
Nhận xét: Đôi khi giả thiết lồi, lõm không được thõa mãn. Lúc đó ta sẽ so 
sánh vị trí của tiếp tuyến và đồ thị hàm số bằng chứng minh trực tiếp.
 11 1 
 Ta có nhận xét, nếu có một trong ba số a,b,c thuộc khoảng 0; , 
 3 
 1 1 1 1 2
chẳng hạn 0 a thì ta có 9 a b c a2 b2 c2 nên bài 
 3 a2 b2 c2
 1 7 
toán được chứng minh, do vậy ta chỉ xét a,b,c ; . Ta xét hàm số 
 3 3 
 1 2 1 7 
 f x x trên đoạn ; , phương trình tiếp tuyến của đồ thị f x tại 
 x2 3 3 
điểm có hoành độ x0 1 là y 4x 4. Ta có 
 2 2 
 x 1 2 x 1 1 7 
 f x ( 4x 4) 0 x ; , suy ra f x 4x 4 ,
 x2 3 3 
 1 7 
 x ; .
 3 3 
 Từ đó ta có: f a f b f c 4 a b c d 16 0 , đẳng thức 
xảy ra khi a b c 1. 
Bài 6: Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn a b c 1. Chứng minh rằng 
 10 a3 b3 c3 9 a5 b5 c5 1.
Hướng dẫn giải: 
 Như các bài toán trên, ta xét hàm số f x 10x3 9x5 trên khoảng 0;1 , 
 1
phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x là 
 0 3
 25 16
 y x .
 9 27
 25 16 1 2 3 2
 Xét f x x 3x 1 27x 18x 21x 16 , bây giờ ta 
 9 27 27
 25 16
chưa thể khẳng định được f x x với mọi x 0;1 , nên ta đặt 
 9 27
 g x 27x3 18x2 21x 16 và xét hàm số g x trên khoảng 0;1 , ta thấy 
 g x không luôn dương trên 0;1 , nên ta phải tìm cách chia khoảng xác định 
của x tốt nhất có thể sao cho trên khoảng đó thì g x 0. Bằng cách lập bảng 
biến thiên của hàm số g x trên khoảng 0;1 , ta suy ra g x 0 với mọi 
 9 25 16 9 
 x 0; , từ đó ta có f x x với mọi x 0; . Như vậy bài toán 
 10 9 27 10 
 9 
đã chứng minh xong khi a,b,c 0; và a b c 1. Bây giờ ta xét trường 
 10 
 13